2017年湘潭大学数学与计算科学学院601数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1. 设函数f (x ) 在x=0连续,并且
【答案】
于是,有
求证:
存在,并且
把这些式子左右两边对应相加得
由于
在x=0连续,对
取极限,
此即
2. 证明反常积分
【答案】因为
所以只需证明记
收敛即可.
则对任意u>l,
g (x )
在
上单调递减,并且收敛,故
3. 设
【答案】设
并且对于任何
则有
对上式两边同时求导,得
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存在,且
是收敛的.
由狄利克雷判别法可知
收敛. 有
常数,证明
即
4.
利用不等式
于是对两边取转置又得
证明:得到
为递减数列,
并由此推出
为有界数列. 【答案】由不等式令
则有b>a>0.于是
因此,
为递减数列,由此推出
于是
即
为有界数列.
二、解答题
5. 已知函数y=f(x )的图像,试作下列各函数的图像:
(1)⑷(7)
【答案】(1)关于x 轴作(2)关于y 轴作(3)关于原点作(4)对(5)对(6)对(7)从以
(2) (5)
的图像的对称图像,就得到
的图像的对称图像,就得到的图像的对称图像,就得到
的图像.
的图像. 的图像.
(3) (6)
的图像,x 轴以上的部分保持不变,x 轴以下的部分对称地翻转到x 轴以上. 的图像,原函数值为正的地方变为y=l, 原函数值为0的地方仍然为0, 原函的图像,x 轴以上的部分保持不变,x 轴以下的部分变0.
的图像出发,把x 轴以上的部分变为0, x 轴以下的部分翻转到x 轴上方.
为例,本题的各种情形如图1~4所示.
数值为负的地方变为y=-1.
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图1 图
2
图3 图4
6. 求内摆线
所围图形的面积(图)。
图
【答案】所围图形的面积为
7. 设f (x ) 为可微函数
,算
并求
在
处的值.
则
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并有方程试对以下两种形式分别计
(1) 由方程确定的隐函数(2) 由方程确定的隐函数
【答案】令 (1)
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