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2017年湘潭大学数学与计算科学学院601数学分析考研仿真模拟题

  摘要

一、证明题

1. 设函数f (x ) 在x=0连续,并且

【答案】

于是,有

求证:

存在,并且

把这些式子左右两边对应相加得

由于

在x=0连续,对

取极限,

此即

2. 证明反常积分

【答案】因为

所以只需证明记

收敛即可.

则对任意u>l,

g (x )

上单调递减,并且收敛,故

3. 设

【答案】设

并且对于任何

则有

对上式两边同时求导,得

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存在,且

是收敛的.

由狄利克雷判别法可知

收敛. 有

常数,证明

4.

利用不等式

于是对两边取转置又得

证明:得到

为递减数列,

并由此推出

为有界数列. 【答案】由不等式令

则有b>a>0.于是

因此,

为递减数列,由此推出

于是

为有界数列.

二、解答题

5. 已知函数y=f(x )的图像,试作下列各函数的图像:

(1)⑷(7)

【答案】(1)关于x 轴作(2)关于y 轴作(3)关于原点作(4)对(5)对(6)对(7)从以

(2) (5)

的图像的对称图像,就得到

的图像的对称图像,就得到的图像的对称图像,就得到

的图像.

的图像. 的图像.

(3) (6)

的图像,x 轴以上的部分保持不变,x 轴以下的部分对称地翻转到x 轴以上. 的图像,原函数值为正的地方变为y=l, 原函数值为0的地方仍然为0, 原函的图像,x 轴以上的部分保持不变,x 轴以下的部分变0.

的图像出发,把x 轴以上的部分变为0, x 轴以下的部分翻转到x 轴上方.

为例,本题的各种情形如图1~4所示.

数值为负的地方变为y=-1.

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图1 图

2

图3 图4

6. 求内摆线

所围图形的面积(图)。

【答案】所围图形的面积为

7. 设f (x ) 为可微函数

,算

并求

处的值.

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并有方程试对以下两种形式分别计

(1) 由方程确定的隐函数(2) 由方程确定的隐函数

【答案】令 (1)