2017年湘潭大学数学与计算科学学院601数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1. 证明级数
【答案】因为
按对角线相乘可得
*
所以两级数的乘积为 2. 证明
【答案】令
则
所以
3. 设
为无穷小数列,
为有界数列,证明:存在正整数N ,
当所以
4. 证明曲线积分的估计式:利用上述不等式估计积分
【答案】因为
这里又
为曲线AB 上任一点的切向量的方向余弦; 有
圆的参数方程为
而
于是
其中L 为AB 的弧长,并证明
并
故
为无穷小数列.
又因为
为无
时,
有为无穷小数列.
因此,当n>N时
,
其中
与
绝对收敛,且它们的乘积等于
故级数
.
绝对收敛,同理
也绝对收敛,
【答案】因为有界数列,故存在M>0, 使得对一切正整数n ,有
穷小数列,
所以对任给
从而
故由迫敛性知
二、解答题
5. 设V (t )是曲线
【答案】由旋转体体积公式可得
所以
故
6. 求由部分的区域,则
作广义球坐标变换:
又因为
所以C=l.
所围的立体的体积.
上,用
表示位于第一卦限
. 在
上的弧段绕x 轴旋转所得的体积,试求常数c ,
使
【答案】显见立体关于xOy 平面、yOz 平面对称. 在上半空间
故
(余元公式) .
7. 求下列极限:
【答案】(1)该极限是
型的不定式极限,利用洛必达法则有
(2)该极限是
型的不定式极限,利用洛必达法则有
8. 设
其中f (x ) 为可微函数,求【答案】由于函数
与
在定义区域内连续,所以
同理
9. 讨论下列函数在点(0, 0) 的重极限与累次极限:
【答案】(1) 当动点(x ,y ) 沿着直线
趋于定点(0,0) 时,
这说明动点沿不同斜率的直线趋于原点时,对应的极限值均不同,因此,函数(k ,y )
当
时的重极限不存在,但累次极限:
(2) 函数的两个累次极限都不存在. 又
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