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2017年湘潭大学数学与计算科学学院601数学分析考研强化模拟题

  摘要

一、证明题

1. 证明级数

【答案】因为

按对角线相乘可得

*

所以两级数的乘积为 2. 证明

【答案】令

所以

3. 设

为无穷小数列,

为有界数列,证明:存在正整数N ,

当所以

4. 证明曲线积分的估计式:利用上述不等式估计积分

【答案】因为

这里又

为曲线AB 上任一点的切向量的方向余弦; 有

圆的参数方程为

于是

其中L 为AB 的弧长,并证明

为无穷小数列.

又因为

为无

时,

有为无穷小数列.

因此,当n>N时

其中

绝对收敛,且它们的乘积等于

故级数

.

绝对收敛,同理

也绝对收敛,

【答案】因为有界数列,故存在M>0, 使得对一切正整数n ,有

穷小数列,

所以对任给

从而

故由迫敛性知

二、解答题

5. 设V (t )是曲线

【答案】由旋转体体积公式可得

所以

6. 求由部分的区域,则

作广义球坐标变换:

又因为

所以C=l.

所围的立体的体积.

上,用

表示位于第一卦限

. 在

上的弧段绕x 轴旋转所得的体积,试求常数c ,

使

【答案】显见立体关于xOy 平面、yOz 平面对称. 在上半空间

(余元公式) .

7. 求下列极限:

【答案】(1)该极限是

型的不定式极限,利用洛必达法则有

(2)该极限是

型的不定式极限,利用洛必达法则有

8. 设

其中f (x ) 为可微函数,求【答案】由于函数

在定义区域内连续,所以

同理

9. 讨论下列函数在点(0, 0) 的重极限与累次极限:

【答案】(1) 当动点(x ,y ) 沿着直线

趋于定点(0,0) 时,

这说明动点沿不同斜率的直线趋于原点时,对应的极限值均不同,因此,函数(k ,y )

时的重极限不存在,但累次极限:

(2) 函数的两个累次极限都不存在. 又