2018年大连大学教育部先进设计与智能计算重点实验室716数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:f （x ）为区间I 上凸函数数.
【答案】
:
及
, 由f （x ）的凸性知
所以有
即
故f （x ）为I 上的凸函数.
2． 设f 为
上的递增函数. 证明
存在, 且
【答案】
取
, 即f （x ）在于是对任给的并当 3． 设
【答案】令在又有
内可导,
, 故由柯西中值定理, 存在
, 证明存在
. 使得, 则
在, 于是当, 使得
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函数为[0, 1]上的凸函
为[0, 1]上的凸函数
.
..
及
, 因为函数
为[0, 1]上的凸函数, 所以
因为f
为
上有上界. 由确界原理知存在时, 有
使得
在
上的增函数,
所以对
上有上确界, 令令即
. 上连续,
时, , 即
与
则
故
有
不同时为零.
4． 证明:若为任何闭集, f :且存在正实数
. , 因为f :
, 使得对任何 , 所以必有
满足
则在D 中存在, 的惟一不动点即【答案】（1）不动点的存在性. 下面验证
满足柯西条件, 首先, 有
于是对任意的正整数n , P, 有
即
当n>N时, 对任给正整数P , 有
, 又因为D 为闭集, 所以
由于
有
所以f 在D 上任何点x 0处连续, 从而
故
为f 的不动点.
的惟一性若也就是
为, 的另外一个不动点, 则
即
. 所以f 在D 上存在惟一的不动点.
（2）不动点
, 故由定理可知数列
收敛,
设
二、解答题
5． 确定的值, 使下列函数与当
（1）（3）【答案】⑴当
时,
因而
当
故当（2）
当
时 时.
当
时,
时为同阶无穷小量: （2） （4）
时为同阶无穷小量.
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即当（3）
于是当
时,
故当⑷
可以看出当当
6．
求极限
【答案】方法一:令
, 则有
当
时,
故有
因此方法二:当
时,
是无穷小量.
由此即得
7． 重排级数
【答案】注意到
及
使它成为发散级数.
. 均是发散的正项级数, 从而存在n 1, 使得
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时. 与当时为同阶无穷小量.
时, 与上时为同阶无穷小量
时,
故当时, 与
时为同阶无穷小量.
.