2018年渤海大学数理学院628数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若f , g均为区间I 上凸函数. 则
【答案】因为f , g 均为区间I 上的凸函数, 所以对任意的
也是I 上凸函数.
及
, 总有
, ①
, ②
由于于是
③
④
由式①〜式④得
即
2． 设
是凸域,
, 且满足
t
证明:f （x ）的海色矩阵【答案】由泰勒公式得:
根据条件
故有
.
上式消去t 并令t →0, 即得
这表明矩阵
是半正定的. 由于x 0任意性, 所以海森矩阵在上是半正定的.
与, 则
内分别严格单
2
. 因而
, 故F （x ）是I 上的凸函数
是半正定的.
.
1为任一向量, 当t 充分小时, 点
3． 证明:对任一多项式p （X ）, —定存在x 1与x 2, 使p （X ）在调.
【答案】设
不妨设
当n 为偶数时, n-l 为奇数,
此时有时
, 严格递增.
当n 为奇数时, n-l 为偶数,
则时
, 4． 设
令
, 则p （x
）在
与
与
, 当
时
,
于是, 在
故存在
内p （x ）严格递减, 在
, 故
存在
,
使得当内p （x ）
, 使得
当
内分别严格递增.
为递减正项数列. 证明:级数
与
同时收敛, 同时发散.
和
. 有
【答案】设正项级数的部分和分别是.
由此知, 若又因为
收敛, 则有上界, 从而, 有上界, 即有上界, 因此收敛.
由此知, 若于是
与
收敛, 则
有上界, 故
也收敛.
同时收敛, 同时发散.
二、解答题
5． 求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程:
（1）（2）
【答案】（1）1, 法线方程为
（2）
, 即
;
.
, 故切线方程为
故切线方程为y=1, 法线方程为x=0.
, 即
. 法线斜率为－
6． 确定下列函数的单调区间:
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）（x ）递减.
（2）f （x ）的定义域为
, 导函数为:
；
.
. 故在
上,
. , f （x ）递增在
上,
f
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因此在
（3）f （
x
）的定义域为在
和
7． 求
【答案】
上,
（4）f （x ）的定义域为
递减; 在
.
,
, f （x ）递减.
.f （x ）递増 , 故在[0, 1]上
,
, 故
递增;
在定义域上恒正, f （x ）在
上均为单调递增.
所示平面图形绕y 轴旋转所得立体的体积
.
.
（u , v 为参量）所定义的函数, 求当u=0, v=0
所以当
u=0, v=0时dz=0.
与坐标轴所围图形的面积.
8． 设函数z=z（x , y ）是由方程组. 时的dz.
【答案】
因
9． 求由曲线
【答案】如图所示, 曲线与
x 轴、
y
轴的交点为（a , 0）和（0, b ）所围图形的面积为
图
10．求不定积分
【答案】令
则