2018年大连海事大学数学系602数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （x , y , z ）有连续的偏导数, 作自变量变换:y , z）变成F （u , v , w）. 证明:
【答案】方法一对t>0, 若将u , v , w 都换为tu , tv , tw, 则相应地x , y , z 也换成了 tx , ty , tz , 即
在上式两边关于t 求导得
令t=1可得
方法二由f （x , y , z ） =F（u , v , w ）, 利用一阶微分形式的不变性可得
由变换式可知,
, 它把函数f （x ,
由此易知, 当du=u, dv=v, dw=w时, 有
反之也如此, 这表明结论成立. 2． 设
为递减正项数列, 证明:级数
的部分和为
与级数
同时收敛或同时发散. 的部分和为
因为
为递减的正项数列, 故
故若:又有
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【答案】设级数
收敛,
则也收敛；若发散, 则也发散.
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故若同.
3． 设f
在
【答案】由即f （x
）在可得.f （
X ）在
上连续, 且
, 证明
, 当x>X时, 有
上连续知, f （x ）在
分拆成两项
其中第一项当
时必趋于零. 事实上
对第二项使用第一中值定理
, 存在由于
时,
, 所以
, 使
, 从而
故证得
4．
设
, 证明:
【答案】由拉格朗日中值定理知,
, 使得
因为上式右端大于0
, 所以f （b ）-f （a ）>0 下面只需证明:令因为当
5． 设a n >0, 证明：当下极限
级数
发散.
时，级数
收敛；当上极限
时，
时,
, 则
.
, 显然x=2是g （x ）在
当l , , 从而原不等式成立. 上的唯一驻点. 从而 上有界. 综合上面 知, 对于数1, 存在内有界, 又由f （x ）在上有界. 设 , 将 收敛, 则 也收敛；若 发散, 则 也发散. 由上可知两级数的敛散性相 所以x=2是g （x ）的最大值点. 于是 第 3 页，共 27 页 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 【答案】 （1）由于当n 充分大时，由比较判别法知级数（ 2）由于即 收敛. ， ，即 ， ，当n 足够大时， ，由比较判别法知，级数 发散. ， 6． 证明二重积分中值定理. 【答案】中值定理: 若f 为有界闭域D 上的连续函数, 则存在 因为f 在D 上连续, 所以f 在D 上一定存在最大值M 与最小值m , 对D 中一切点有: 可知: 即 再由定理知, 存在 7． 证明: （1）方程. （2）方程【答案】（1）令的开口向上, 于是不同的实根得 （2）令 , 并且 根据罗尔中值定理 , 存在 为 是奇次方程 （ii ）设n 为正奇数. 如果方程在 , 使得 并且 当n 为偶数时至多有两个实根. 有四个以上不同的实根, 则根据罗尔中值定理, 存 但这是不可能的. 因为 第 4 页，共 27 页 , 使得 , , 使得, （这里c 为常数）在区间内不可能有两个不同的实根； （n 为正整数, p 、q 为实数）当n 为偶数时至多有两个实根； , 则, 则, 则 , 使得 , 但这是不可能的. 因 . 故方程 , 它在实数集R 上有且仅有一个实根 . 当 由方程 得 , 抛物线 , 使 时 , , 使得 当n 为奇数时至多有三个实根 . 在区间（－1, 1）内恒为负. 用反证法证明原命题. 如果在区间[0, 1]内有两个 由罗尔中值定理知, 存在 时, 显然成立; 当 在区间（0, 1）内不可能有两个不同的实根. 有三个以上的实根, 则存在实数 不妨设 , 但这是不可能的. 所以方程（ i ）设n 为正偶数. 如果方程 是偶次方程 , 它在实数集R 上最多只有两个实根. 故方程当n 为奇数时至多有三个实
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