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一、证明题

1． 设f （x ）在[a, b]上二阶可导, 且

, 证明:

（1）

（2）又若,

, 则又有

.

【答案】由

知f （x ）为凸函数, 所以根据定理, 对[a, b]上任意两点x , t 有

（1）在（*）式中令

, 得

在[a, b]上两边对x 求定积分, 得

故有

（2）（*）式两边在[a, b]上对t 定积分, 得

从而对任意的

, 有

由, 可得. 故有

即

2． 设f 、g 、h 是定义在

上的三个连续函数, 且成立不等式

.

证明: （1）若

与

都收敛, 则

也收敛;

（2）又若

, 则

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*）

（

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【答案】（

1）因为当

时, 便有

与收敛, 所以由定理可知, 对任给

存在，使得

由题设于是, 当（2）由又因为

时,

得,

, 所以, 由迫敛性定理知,

可得,

, 再由定理知,

, 收敛.

,

3

． 设u （x , y）在由封闭的光滑曲线L 所围成的区域

D 上具有二阶连续偏导数. 证明:

其中

是u （x , y ）沿L 外法线方向n 的方向导数.

, 所以

因为

在D 上具有连续偏导数, 由格林公式得

故

4．

按

（1）（2） （3） （4）（5）

【答案】（1）由于

故对任意的（2）不妨设

只要取. 则

第 3

页，共 24 页

【答案】因为

定义证明:

, 则当时, 这就证明了:

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对任意的

只要取

则当

时, 有

（3）

由于

对任意的

（4）由于

只要取

则当

对于任意的

时, 有只要取

, 故则当

（5）因为

令

由

得

对于任给

取

则当

故

时

, 有 . 时

二、解答题

5． 设函数

【答案】

构造函数:

可知,

连续且有界。但是

在

时非一致连续.

当

令

当n 足够大的时候

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在开区间在

内连续且有界, 试讨论内非一致连续.

在内的一致连续性

.

反证法:如果函数一致连续, 则对时,