2018年大连大学信息工程学院716数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （X ）为二阶可微函数, F （X ）为可微函数, 证明函数
满足弦振动方程
及初值条僻【答案】
所以
2． 设
收敛
，
证明
：
的前n 项和S n . 则
对上式两边取极限，从而
即
3． 求f （x ）=x3在区间
上的傅里叶级数展开式, 并由此证明:
【答案】因为f （x ））在
上可积, 所以可展开成傅里叶级数. 而
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—, .
.
【答案】记级数
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故
显然, 当
时, f （
x ） =x连续, 故
当x=0时, 级数收敛于于是由式（1）可得
, 即
.
. 再在式（1）中, 令
4． 证明:若
（1）（2
）
【答案】（1
）令从这个等式中解出因为
, 所以, 则
, 其中
,
在区间得,
. 又因为
所以
（2）
上应用拉格朗日中值定理, 得
, 可得
3
二、解答题
5． 求下列极限（其中n 皆为正整数）.
（1）（3）
（2）（4）
第
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（5）【答案】 （1）（2）（3）
（4）由公式
得
（5）由性知得
6． 求极限
【答案】令
（k 为自然数）.
, 由
可得原极限
. 可知, 当
故
时, 有
. 当
时, 有
根据迫敛
7． 求下列函数f 的黑赛矩阵, 并判断该函数的极值点:
（1）（2）
【答案】（1）因为
, 其中
故可知, 的黑赛矩阵
, 的稳定点
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,