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一、解答题

1． 求积分值方向.

【答案】

域的面积.

2． 应用格林公式计算下列曲线积分:

（1）方向取正向;

（2）上半部的路线

.

其中m 为常数, AB 为由（a , 0）到（0, 0）经过圆

其中L 是以A （1, 1）, B （3, 2）, C （2, 5）为顶点的三角形,

, 其中为封闭曲线L 所围区

, 其中L 为包围有界区域的封闭曲线, n 为L 的外法线

图

【答案】（1）

各边方程为:

（2）由于AB 不是封闭曲线, 则加一段

, 有

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3

． 求下列极限:

（1）（2）【答案】（1）

在区域

上连续. 因此

（2）

4． 求

【答案】注意到解之得a=2, b=1, 从而有

原积分

5

． 在得

所以

故其傅里叶级数为

在区域

上连续, 因此

, 可令

上把下列函数展开成傅里叶级数

【答案】易知f （x ）是上的偶函数，故b n =0根据傅里叶级数展开式的系数公式可

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6． 在xy 平面上求一点, 使它到三直线x=0, y=0及

, 它到x=0的距离为【答案】设所求的点为（x , y ）的距离为

它到三直线的距离平方和为

由

的距离平方和最小. , 到y=0的距离为

到

得因为

,

因此

为z 的极小值点, 由实际意义知, 其为z 的最小值点, 最小值为

.

7． 应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性:

（1）（2）（3）

【答案】（1

）记

时

,

故

（2）因判别法知原级数收敛.

,

故

从而级数

sinnr 的部分和数列

从而级数收敛.

（3）注意到数列

单调递减且

故只需考察级数

则

又

故

时

,

收敛, 由阿贝尔

单调且有界, 因此数列

关于n 单调有界. 又级数

即S n 有界.

又

时, 数列单调递减且由狄利克雷判别法知原

的部分和数列