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一、证明题

1． 设

在

上连续并且单调递减，证明：函数

在

单调递减.

【答案】对F (x ) 求导，得

由f (x )

在

上连续且单调递减，

得

上单调递减.

2． 设

为递减正项数列，证明：级数

的部分和为

与

同时收敛或同时发散. 的部分和为

因为

故若又有

故若

收敛，则

也收敛；若

发散，则

也发散. 由上可知两级数的敛散性相

收敛，则

也收敛；若

发散，则

也发散.

为递减的正项数列，，

所以

即函数

【答案】设级数故

级数

同.

3． 证明：若级数

收敛

，绝对收敛，则级数

收敛，则其部分和数

列

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也收敛.

有界. 设存在正数M , 使得

【答案】因为级

数

又因为

即

收敛，从而

绝对收敛，由阿贝尔变换知

又由即

收敛可知收敛. 设

则

所以即

4． 设f (x ) 在

收敛.

上可积，则

【答案】先证明事实上，由且

根据有

特别地，有

由f (x ) 在又因为

上可积可知，它在所以对上述，

上有界，即

当

于是，

当

时，有

即

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在

收敛(即法，

在

上一致收敛. 关于y —致收敛) 及上一致收敛. 于是，

关于x 单调(

当

固定)

时

，

有

时，

有

5． 设

在上可微，且对满足

证明:【答案】

则

因此若一个点列

对

存在广义极限，记为L.

在

，则

使得

上应用拉格朗日中值定理，存在

这表明在

使得

上存在

另一方面，由令

6． 求证：

(1) (2)

【答案】(1) 令

注意到

(2) 由第(1) 小题得，

于是，对任给定 7． 证明

【答案】令

则

所以

其中

取

.

当n>N时，便有

可得

这显然与刚才的结论矛盾，所以

有

所以

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