2017年广西师范大学数学与统计学院624数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 试证：在原点(0, 0) 的充分小邻域内，有
【答案】设
则
故
2． 己知
都是可微的
，
【答案】因为
故原式成立.
3． 试证明：二次型和最小值恰好是矩阵
的最大特征值和最小特征值. 【答案】设
令
Z 结合④式，得
由
知是对称矩阵
在单位球面
上的最大值证明：
的特征值. 又f 在有界闭集值恰好是矩阵
的最大特征值和最小特征值.
4． 证明：
若
【答案】补充定义
在
的值如下：
使得则则
上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在(a ，b ) 内至少存在一
于是
因此
(2) 因为f (x ) 在
上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在(a , b ) 内至少存在一点使得
又因为
(3) 当
时，结论成立. 当
于是
时，设
令
由(2) 的结论知，
6． 若存在数c ，使得
证明：凡有有界变差的数列是收敛的，反之不一定成立.
【答案】所以数列
收敛. 由柯西收敛准则，对
，当丨收敛.
上连续，故最大值、最小值存在，所以最大值和最小
在有限开区间内可导，
且
则至少存在一点
则
在闭区间
使
上满足罗尔中值定理的条件，于是存在一点
5． 证明：(1) 若函数f 在上可导，且
(2) 若函数f (x ) 在(3) 对任意实数【答案】(1) 因为
点I
使得
上可导，且
都有在又因为
因此
则
则称数列显然
存在正整数N , 当
时有
有有界变差.
单调递增且有上界，
即
于是对数列所以数列
时有
反之不一定成立. 例如数列1, 但它不是有有界变差的. 事实上，
它是以0为极限的收敛数列，
是发散的，又是递增的，所
以不是有界的.
而数
列
7． 设
于
是
在上可导，且
使得
为n 个正数. 证明在区间内存
在一组互不相等的数
【答案】用上例的思路来证明之. 令
以及
显然得一点
使
.
再在
如此下去，可以求出
在每一个小区间. 上，对即
亦即
将上式对
从到n 求和，可得
•
取上对
•在. 使得
应用拉格朗日中值定理，存在
上对
应用介值定理，可以求
使
总之，我们有
，使得
应用介值定理，
又可求得一点
二、解答题
8． 求由曲线
与直线
所围图形的面积。
【答案】该平面图形如图所示. 所围图形的面积为