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一、证明题

1． 证明：若f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，g (x ，y ) 在D 上可积且不变号，则存在一点使 得

【答案】不妨设

令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值，从而

若若

则由上式

•则必大于0, 于是

由介值性定理，存在

使得

即

2． 设函数f 在区间I 上连续，证明：

(1) 若对任何有理数【答案】(1)

设当

为有理数时(2)

设有两个实数数从而

.

和

存在而当

满足

故f 在上严格递增.

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于是任取即可.

有则在I

上有

则f 在上严格増.

使

(2) 若对任意两个有理数

由f 的连续性得

为中的任一无理数，由有理数的稠密性知，

存在有理数列

又因为

使得

：

可知时

从而

再由

由有理数的稠密性知，

存在有理数

两点连续. 由) ，使得当.

时

(设

所以

也为0，于是，在上

并且对于正

存在有理数

知，

因为f (x ) 在上连续，所以f (x ) 在

3． 设函数

在

上连续且恒大于零，按

当

定义，证明:时，有

在点当即可.

综上可知，

4． 设f 在

【答案】设

在[a, b]上连续. 上连续

证明：存在

中最小者为

最大者为

使得

则有

若若

理，可以得知存在 5． 设

或.

对

则取在区间使得

有

证明：如果

对任意正整数k

，

这里不妨设设

再由

由于在点

连续，且由于数列

有界，故必有收敛子列，不妨设该收敛子列为故存在正整数N ，使得

所以

由保号性，存在正整数K ，当k>K时有所以当n>N时

6． 证明曲线

【答案】设

所对应的点为

矛盾. 从而

. 由

关于n 单调递增趋于f (x ) ，

在[a，b]上一致收敛于f (x ) .

且

就能满足题中要求.

上应用连续函数的介值性定

(

或

处连续.

) 时，

只需将上面

改为

(

或

)

在[a, b]上连续.

f (x ) 在[a, b]上有最小

值

【答案】因

为

在[a, b]上连续，所以

b]上的连续函数列，为[a，且对任意

在[a，b]上不一致收敛于f (x ) ，则使得

收敛于连续函数f (x ) ，则

【答案】假设

在[a, b]上必一致收敛于f (x ) .

上任一点的法线到原点距离等于a.

则

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法线斜率为所以过点的法线方程为

化简得 7． 应用

(1

) (2

)

【答案】(1) 证法一：由于所以

原点(0, 0) 到法线的距离证明：

在任何

上

一致收敛，

另外

所以

证法二：

(2)

由

在任何

上

一致收敛，所以

另外

所以

二、解答题

8． 设

求

【答案】用泰勒公式，

两边积分可得

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