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一、证明题

1． 证明：点列

即

故从而同理充分性设因此故点列

2． 设

收敛于

为二阶可微函数，

为可微函数，证明函数

满足弦振动方程

及初值条僻【答案】

所以

3． 给定两正数

与

作出其等差中项

皆存在且相等.

可知

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收敛于的充要条件是收敛于

则对任给的

存在N ，

当

时

【答案】

必要性设点列

侧对任给的

存在N , 当

时，

与等比中项

，一般的令

证明:与

【答案】由因而

又因为因此，

，所以

为单调递减，

与

为单调递增. 并且

对

皆存在且根等.

即

都是有界的. 根据

两边取极限，得

单调有界定理知|于是a=b, 即

4． 证明下列命题：

(1) 若

在

的极限都存在.

设

上连续増，

则(2) 若

为在

上的增函数。

上连续，且

则

为

上的严格增函数，

如果要使

在

在上为严格増，

试问应补充定义

【答案】(1) 由

上连续及洛必达法则，得

因此F (x ) 在点右连续，从而在上连续，又当时，

根据积分中值定理，存在

使所以

由故

在为

上单调增，得上的増函数。

从而当

时，

(2) 由题设，可得因此在内可微，且

由而

知，函数

故

为

在上非负，且不恒为零，所以内的严格增函数. 因

从

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所以补充在

5． 设

(2) (4)

上严格增。 为有界数，记

为递增有界数列，且对任何正整数的极限，则

于是

因而

由于

的界，

即对一切正整数

故

设正整数h>n, h>m.

则由正整数n , m

总有限得

收敛. 必要性，设于是，当n>N时

在上面两个不等式的两边分别取极限得由的任意性知

6． 证明：若级数

与

收敛，则级数

和

也收敛，且

【答案】因为又所以

及

均收敛，所以

收敛，故

，收敛. 又因为

收敛，故由柯西-施瓦兹不等式

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使函数

成为上的连续函数，再由可得

证明：

(1) 对任何正整数，

为递减有界数列，

和

收敛的充要条件是

和

(3) 设和分别是

【答案】(1) 由(2) 由于

的定义知|

因而

由

知

和

又因

即

的极限都存在，设

由(1) 知

为递减有界数列

，

.

设正数M

为数列可知，

对一切

故对任何的两边取极

为递増有界数列. 对任何正整数n , m ，

(3) 由单调有界原理知

即

(4) 充分性，由(1) 和确界的定义知

则对任意的

由迫敛性定理知，

数列即

因此，

存在N ，使得当n>N时，