2018年西北农林科技大学动物科技学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
故
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2． 设三阶方阵A
、B
满足
式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵
.
若
求行列
【答案】由矩阵知
则
. 可
逆. 又故即
所以即而
故 3． 已知
与
相似. 试求a
, b ,
c 及可逆矩阵P ，
使
【答
案】
由于故B 的特征值为
从而
B
可以对角化为
分别求
令
所对应的特征向量
，得
有即a=5.
由
得A ，B 有相同特征
值，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得：令
有
. 因此
即
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记
则P 可逆，
且
构
4． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
故所求的方程组可取为
将
代入得，
解得此方程组
二、计算题
5． 设A 为n 阶矩阵，证明
与A 的特征值相同.
的根，同样
的特征值是特征多项式
的根，
【答案】A
的特征值是特征多项式
从而A
与 6．
设
的特征值也相同.
但根据行列式性质1，这两个特征多项式是相等的：
（1）求一个可逆阵P ，使PA 为行最简形； （2）求一个可逆阵Q ，使QA T 为行最简形. 【答案】⑴