2018年西安建筑科技大学理学院621高等数学与线性代数之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
2． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
又知齐
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
得到所以矩阵
的基础解系为
则既可由
对
作初等行变换，有
不全为
当a=0时，解出
因此，Ax=0与Bx=0的公共解为 3．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，
并求所有矩阵C.
其中t 为任意常数.
线性表出，也可
（
Ⅱ
）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0的非零公共解为
由
线性表出，故可设
于是
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设
则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
其中
4．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是矩阵
为任意常数.
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使为
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
二、计算题
5． 判定下列二次型的正定性：
（1
）（2
）
【答案】（l ）f 的矩阵