2018年同济大学数学系396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n
个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1
重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵
与相似.
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
且
有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
有惟一解知
则方程组
. 即
即有
可逆.
3． 设A
为
的解为【答案】
由
矩阵
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
易知
于是方程组
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
得
有非零解，即存在
有非零解，这与
4． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
二、计算题
5．
验证
并把【答案】因
，
，
为
的一个基，
用这个基线性表示.
据此可知
，
用此基线性表示式为
从而
，
故
是一个基；