2018年西安建筑科技大学理学院621高等数学与线性代数之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
的秩为
2.
二次型
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
2．
设矩阵.
【答案】
求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角
于是A 的3
个特征值为（Ⅰ）当
且
时，A 有3个不同特征值，故4可对角化，且可对角化为
（Ⅱ）当a=0时
，
此时A 有二重特征值1，
仅对
应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
（Ⅲ）
当
时
，
此时
A
有二重特征
值
而
仅对应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.
3．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
4． 设B
是
矩阵
逆
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
且A 可对角化，
求行列式
其中E 是n 阶单位矩阵.
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
使或1.
二、计算题
5． 验证明：
与向量线性空间.
【答案】
事实上
与
均是
中与向量
不平行的向量，但它们的和
平
不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和数乘运算不构成
行于
即该集合对于向量的加法不封闭，故不构成向量空间.