2018年西北农林科技大学动物科技学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
2．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A 的秩
故f 在正交变换下的标准形为
3． 设二次型
（Ⅰ）用正交变换化二次型
（
Ⅱ）求【答案】（Ⅰ）由
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
为标准形，并写出所用正交变换；
矩阵
A 满足
AB=0, 其中
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以为矩阵对应特征值
所以
的特征向量； 的特征向量；
也是矩阵的一个特征值；
记
值（至少是二重），
根据
值是0, 0, 6.
设有
对
正交化，令的特征向量为
有
则
是
的线性无关的特征向量.
由此可知，是矩阵
A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
再对，单位化，得
那么经坐标变换即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为又
有
所以由
进而
得
于是
4．
设n 维
列向量
【答案】记
线性无
关，其中S
是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
有无穷多解. 易知特解为
从而②的通解，即①的通解为
对应齐次方程A 为任意常
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