2018年辽宁大学生命科学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 从某种型号的晶体管中抽取10件作样本测量其寿命, 测得寿命的标准差为这批晶体管的寿命服从于正态分布上限.
【答案】由题意可知,
, 查
当故
未知时,
的置信度为
分布表得,
的单侧置信区间为
,
. 其中
均为未知, 求
的置信度为
45（小时）, 设
的单侧置信
的置信度为的单侧置信区间上限为
2． 为研宄某型号汽车轮胎的磨耗，随机选择16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止，记录所行驶路程（单位:km ）如下:
假设这些数据来自正态总体下限.
【答案】先计算样本均值与样本标准差利用未知场合的的单侧置信下限这里
代入可得
3． 两台车床生产同一种滚珠，滚珠直径服从正态分布，从中分别抽取8个和9个产品，测得其直径如下表
表
比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（取Y 为乙车床生产的滚珠直径，原假设为
，备择假设为
第 2 页，共 31 页
，其中未知，求的置信水平为0.95的单侧置信
，
，
）. ，
【答案】这是一个关于两正态总体方差的一致性检验问题，设X 为甲车床生产的滚珠直径，
此处m=8, n=9, 由样本数据计算得到于是查表有从而拒绝域为
若取显著性水平
，
，
, ，
由于检验统计量的值不在拒绝域内，因此认为两台车床生产的滚珠直径的方差没有明显差异.
4． 设某班车起点站上客人数X
服从参数
的泊松分布,
每位乘客在中途下车的概率为
, 且中途下车与否相互独立, 以Y 表示在中途下车的人数, 求:
（1）在发车时有n 个乘客的条件下, 中途有m 人下车的概率； （2）二维随机变量
的概率分布.
【答案】 （1）求在发车时有n 个乘客的条件下, 中途有m 人下车的概率,
相当于求条件概率
.
将每位乘客在中途下车看成是一次试验, 且每个人下车是独立的, 有n 个人相当于做了n 次独立重复试验. 若将乘客下车视为试验成功, 不下车视为试验失败, 而且每次试验成功的概率都为P , 则问题（1）转化为n 重伯努利试验中m 次成功的概率. 因此条件概率服从二项分布, 即
（2）求二维随机变量因为X 服从参数故其中
5． 设随机变量的偏度系数和峰度系数.
【答案】因为
所以
第 3 页，共 31 页
的概率分布, 其实就是求
的泊松分布, 则
, 利用乘法公式, 有
,
.
，对k=l, 2, 3, 4, 求
与
，进一步求此分布
偏度系数和峰度系数分别为
注:上述
6． 设随机变量
与a ，b 无关，这表明:任一均勾分布的偏度为0，峰度为-1.2. 服从柯西分布，其密度函数为
试证:
当
时，有
即
结论得证.
其中未知
为取自总体X 的简单随
7． 设总体X 服从均匀分布机样本.
（1）求的矩估计（3）判断
和
；
；
（2）求的最大似然估计【答案】对任意的
是否为的无偏估计量.
, 所以X 的密度函数为
,
【答案】因为X 服从均匀分布则（1）令（2）似然函数为取自然对数因为于是有（3）
, 所以
, 且
.
, 所以的矩估计为^.
于是L 关于单调下降.
,
.
故的最大似然估计为
.
记则Y 的分布函数为
第 4 页，共 31 页