2018年辽宁大学生命科学院314数学(农)之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 从某种型号的晶体管中抽取10件作样本测量其寿命, 测得寿命的标准差为这批晶体管的寿命服从于正态分布上限.
【答案】由题意可知,
, 查
当故
未知时,
的置信度为
分布表得,
的单侧置信区间为
,
. 其中
均为未知, 求
的置信度为
45（小时）, 设
的单侧置信
的置信度为的单侧置信区间上限为
2． 甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球，从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率.
【答案】从两个口袋中各取一球，共有出黑球，这共有
种取法，于是
3． 一个质点从平面上某点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，每次游动的距离为1，求经过2n 次游动后，质点回到出发点的概率.
【答案】因为每次都等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，所以经过2n 次游动后，样本空间中共有
设所求事件为2n 次，
此种样本点共有
当k 从0到n 累加起来就得事件
所含样本点总数
个， ，它为
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种等可能取法，而两个球颜色相同有两种情况:
第一种是从甲口袋取出白球、从乙口袋也取出白球；第二种是从甲口袋取出黑球、从乙口袋也取
个样本点. ，事件
发生要求（1）上下游动次数相等；（2）左右游动次数相等，
否则不可能回到出发点，若上、下游动各k 次，那么左、右游动只能各n -k 次，这样共游动
由此得所求概率为
可算得:
4． 设
【答案】因为
为
及
，
所以Y 的密度函数为
这是对数正态分布
，为求其数学期望，采用线性变换
可得
上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是为求Y 的方差，先求
. 施行相同的线性变换，可得
=
上式最后一个等式成立是因为积分中的被积函数是
的密度函数之故. 由此得
的密度函数之故.
，求
的密度函数、数学期望与方差.
，且
为严格单调增函数，其反函数
的可能取值范围为
5． 从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本这行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下:
若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布且方差相同，问东、西两支矿脉含锌量的均值是否可以看作一样（取
）？
这是一个双侧检验问题，因而拒绝域为
，由样本数据，算得
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【答案】由已知条件，待检验一对假设为
检验统计量
当
. 因此接受
东、西两支矿脉含锌量的均值可以看
作一样.
6． 设事件A 和B 互不相容，且P （A ）=0.3, P （B ）=0.5, 求以下事件的概率:
（1）A 与B 中至少有一个发生: （2）A 和B 都发生； （3）A 发生但B 不发生. 【答案】（1）（2）（3）
7． 设随机变量X 服从正态分布率之比为
【答案】由题设条件知
所以 （1）由于
，由此得
（2）由于
，由此得b=58.5.
（3）由（4）由
8． 设
，查表得，查表得
，由此得c=61.5. 由此得d=64.44.
，即
，因此查表得
，即
，因此查表得
，试求实数a , b , c , d 使得X 落在如下五个区间中的概
为独立同分布的随机变量序列，其共同的分布函数为
试问:辛钦大数定律对此随机变量序列是否适用？
【答案】此为柯西分布的分布函数，而柯西分布的数学期望不存在，因为辛钦大数定律要求数学期望存在，所以辛钦大数定律对此随机变量序列不适用.
二、证明题
9． 对任意的事件A , B ，C , 证明:
（1）
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