2018年辽宁大学生命科学院314数学(农)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 从一批钉子中随机抽取16枚, 测得其长度（单位:cm ）
为:2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11.设钉子的长度X 服从于正态分布
（1）已知（2）未知（1）
由正态分布表知,
, 故得
即的置信度为（2）由又由
及t 分布表知, 故得
即的置信度为
的置信区间为
2． 一商店经销某种商品，每周进货量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间周的平均利润.
【答案】记Z 为此商店经销该种商品每周所得的利润，由题设知
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, 在下列两种条件下分别求总体均值的置信度为
的置信区间.
【答案】由题意知,
的置信区间为
未知, 则
上的均匀分布. 商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了
进货量，则可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元. 试求此商店经销该种商品每
其中
由题设条件知
的联合概率密度为
于是
3． 设随机向量X 与Y 都只能取两个值，试证:X 与Y 的独立性与不相关性是等价的.
【答案】因为独立必定不相关，所以只需证:若X 与Y 不相关，则X 与Y 独立. 不失一般性，可设X 与Y 只取0与1两个值，否则可设X 的可能取值为为c ，d. 又记
所以
与
的可能取值均为0, 1.
与
不相关. 所以只需证
表
与
是独立的. 记
的联合分布列
由X 与Y 不相关可得
的可能取值
与各自的边际分布列如下表所示.
由此可
得
得:
将此代入联合分布列与边际分布列的关系式
由
与的不相关性可
即可得
即
与
独立，从而证得X 与Y 独立.
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4． 设二维随机变量的联合密度函数为
（1）试求常数k ; （2）求【答案】（1）
的非零区域如图 （a ）阴影部分. 由
解得k=6.
（2）P （x ，y ）的非零区域与的非零区域与事件
的交集为图（b ）阴影部分，所以
，又因为P （x ，y ）
的交集为图（c ）阴影部分，所以
图
5． 设9件产品中有2件不合格品，从中不返回地任取2件，求取出的2件中全是合格品，仅有一件合格品和没有合格品的概率各为多少？
【答案】仿抽样模型可得
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