2018年兰州交通大学数理学院818概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明:
为独立的随机变量序列，且
服从大数定律.
所以由
由马尔可夫大数定律知
2． 设
服从大数定律.
的独立性可得
【答案】因为
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
都是的无偏估计；
的估计中，
，故
最优.
，
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
故有
又
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（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
从而
由于（3）对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于
，故
»
因此当在形如
3． 设
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，
最优.
为独立随机变量序列，且
服从大数定律.
相互独立，且
服从大数定律.
由此可得马尔可夫条件
证明:
【答案】因为由马尔可夫大数定律知
4． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:
其中参数
（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若
【答案】（1）因为
时，记Y=X, 试证
相互独立，且服从同一柯西分布，试证:
的密度函数为
y 的特征函数为
下证柯西分布的可加性，设若
与
相互独立，则
这正是参数为为
（2）当所以
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常记为
且利用此结果证明柯西分布的可加性；
但是X 与Y 不独立；
与
同分布.
由此得服从参数为
的特征函数
的柯西分布，其密度函数为
的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，
时有
服从参数
的柯西分布.
由于
当然X 与Y 不独立.
不能推得X 与Y 独立. 的柯西分布，则特征函数为
由相互独立
此题说明，由
（3）设
都服从参数为性得:
即
5． 设
证明:
的特征函数为
与具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布. 为独立随机变量序列，且
服从大数定律.
相互独立，且
所以
【答案】因为
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
6． 对任意的事件A , B ，C , 证明:
（1）（2）【答案】⑴
（2）因为
所以
7． 设随机变量
且X 与Y 相互独立，令
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
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