2018年兰州交通大学数理学院818概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设在常数c
为独立同分布的随机变量序列，方差存在，令使得对一切n 有
则
证明:
服从大数定律.
对任意的
因而
证明有
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
若
其中
则
而
3． 设
正是泊松分布的特征函数，故得证. 为独立随机变量序列，且
证明:
服从大数定律.
相互独立，且
由马尔可夫大数定律知
4． 设随机变量与
（1）
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. 又设
有
为一列常数，如果存
【答案】不妨设
2． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布
则
【答案】二项分布因为
所以当
的特征函数为
时，
【答案】因为由此可得马尔可夫条件
服从大数定律.
上的均匀分布，试证明:
相互独立，且都服从
【答案】（1）设所以当即所以当即（2）因为所以
时，
则
所以由此得
又因为
的密度函数为则
的密度函数为
又设时，
所以的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
5． 设存在，且N 与
为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:
【答案】因为
所以
6． 从正态总
. 中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明:不管
，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布. 由于n=100，
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先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
【答案】设的先验分布为其中
，
故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
7． 设
为来自
的i.i.d 样本，其中，样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法，在下而在
下
的MLE 为
分别为
的MLE.
未知.
）.
证明关于假设【答案】记
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
于是似然比统计量为
在此时
为
时
，由于
，故只需考虑
的情形，
的单调增函数，故此时的似然比统计量是传统的t 统计量的增函数，
即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域由t 检验的结论知，
8． 设随机变量独立同分布，且
，这就完成了证明.
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
这正是伽玛分布
所以由
诸的相互独立性
得的特征函数
为
的特征函数，由唯一性定理知
二、计算题
9． 设
【答案】由于
是总体
为独立同分布的
的一个样本，求
随机变量，故
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的分布.
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