2017年东北师范大学高等数学(跨学科加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 两个无穷小的商是否一定是无穷小? 举例说明之.
【答案】不一定，例如，
与
都是当
时的无穷小，但
，却
不是当时的无穷小。
2． 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R=cv（其中C 为常数，v 为物体运动的速度，试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系。）
【答案】根据牛顿第二定律，
有关系式
方程成
为
得
于是
有
代入初始条件
积分
得
，得
得
并依据题设条件，
得初值问题
分离变量后积分
代入初始条
件
故所求特解（即下落的距离与时间的关系）为
3． 设函
数
，…设
【
是曲线
答
，定义函数
列
案
，
，…，
； 】
，直线x=1，y=0所围图形的面积，求极限
利用数学归纳法可得，，则
故
4． 设
【答案】由于
，为可微函数，求，令
。
，则将其代入原式得
则
则
二、计算题
5． 求由抛物线y=x2，及直线y=1所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直线y=-1的转动惯量。
【答案】闭区域
，所求的转动惯量为
6． 设抛物线y=ax2+bx+c通过点（0，0），且当x ∈[0, 1]时，y ≥0。试确定a ，b ，c 的值，使得
2
抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体
的体积最小。
2
，可得c=0。 【答案】由已知条件：抛物线y=ax+bx+c通过点（0，0）2
抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为
从而得到
，即
。该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为
因此当b=2时体积最小，此时
，抛物线为
，在区间[0, 1]上，
此抛物线满足y ≥0, 故所求解：
7． 按（x-4）的幂展开多项式
【
答, 。
,
故
,
，b=2，c=0符合题目要求。
案
,
】
,
因
,
为
, ,
8． 求直线
在平面
上的投影直线的方程.
【答案】作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.
设过直线得由得
. 代入平面束方程，得
的平面束方程为
. 因此所求投影直线的方程为
三、证明题
9． 求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）：
（1）（2）（3）
【答案】（1）将中间变量
;
.
，
依次编为1, 2号，则
;
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