2017年复旦大学高等数学(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 质量为1g （克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成
2
反比，在t=10s时，速度等于50cm/s外力为4g ·cm/s，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多
少？
【答案】设在时刻t ，质点运动速度为v=v（t ）。据题设条件，
有m=1, t=10, v=50, f=4，
得
。
代入条件：t=10, v=50, 得c=500，于是有特解当t=60（s ）时，
2． 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解
（l ）（2）（3）（4）
【答案】（l ）由（2）由于是解。
（3）由进而得于是
故（4）由
于是
=0
第 2 页，共 21 页
，且由，积分
得
，故有微分方
程，分离变
量，
，得，得
，
，故，进而得，
故
，得
，
。
是所给微分方程的解。
，
是所给微分方程的
不是所给微分方程的解。
，得
，进而得
故
3． 求函数
令其为0，解得驻点为
又闭区域
是所给微分方程的解。
在区域
对
的偏导，得
。
。可知，该驻点在区域D 内，且
的边界由四线段构成：
上的最大、最小值。
，并
【答案】由题意，分别求出函数
在直线上，，则令
在直线在直线
上，上，
，则令，则令
，得
，得
在直线上，，则令，得
比较以上所有函数值，可知函数Z 在D 上的最大值为1，最小值为0.
4． 化下列方程为齐次方程，并求出通解
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）令4Y+2h+4k-6）dy=0.
令
原方程化为
（2X-5y ） dX-（2X+4y）dY=0,
即
则原方程成为积分
第 3 页，共 21 页
则
且原方程成为（2X-5Y+2h-5k+3）dx-（2x+
解此方程组得h=1, k=1。故在变换x=X+1, y=Y+1下，
，又令，有，即
，
。
得故上式成为得原方程的通解（2）将原方程写成且原方程化为则原方程成为积分即
得原方程的通解（3）令+7k-3h+3）dY=0.
令
，解此方程组，得
故在变换
下，
则
将
且原方程成为（3Y-7X+3k-7h+7）dX+（7Y-3X
代入上式，
。又令，代入
，令，有
，
则
，即
，因
，
原方程化为（3Y-7X ）dX+（7Y-3X ）dY=0. 即
则原方程成为积分即将
代入上式，得原方程的通解
，
该方程属于
，则将
，且原方程成为代入上式，得原方程的通解
即
类型的，
一般可令
积分
，又令
即，得
，有
，
（4
）将原方程写成
。令
得
第 4 页，共 21 页
相关内容
相关标签