2017年湖北师范大学高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 如果在时刻t 以
表示什么？ 【答案】 2． 设又
【答案】由
，其中，求函数值
可得
由对称性可知
又
，则
则又
，故
，则
。
，故
第 2 页，共 31 页
的流量（单位时间内流过的流体的体积或质量）向一水池注水，
那么
表示在时间段[t1，t 2]内向水池注入的水的总量。
，。
二阶可导，
，
则 3． 设二阶导数且
（1）
；（2）
是由方程。
。
，两边同时微分得
又
，则
故
4． 设有连结点O （0，0）和A （1, 1）的一段向上凸的曲线弧曲线弧
与直线段
2
所围成图形的面积为x ，求曲线弧
。
所确定的函数，其中
具有
【答案】（1）由方程
。
（2）由（1）可得，
, 对于，上任一点P （x , y ）
的方程。
【答案】设曲线弧的方程为y=y（x ） 依题意，有
上式两端对x 求导
，
，则微分方程成为
，积分得。
，
即得微分方程
，因
，故有
，
令
，
有
。
，故1=C。于是得曲线弧的方程又因曲线过点A （1, 1）
二、计算题
5． 直径为20cm ，高为80cm 的圆筒内充满压强为10N/cm2的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？
【答案】由条件的压强为p （h ）N/m，则
2,
为常数，故
，压力为
。设圆筒内高度减少hm 时蒸汽
，因此做的功为
第 3 页，共 31 页
6． 方程
【答案】将已知方程整理成
表示什么曲面?
所以此方程表示以（1，﹣2，﹣1）为球心，以
7． 试证明方程误差不超过0.01。
【答案】设函数
由零点定理知至少存在一点至少有一实根。又即的实根。
现用切线法求这个实根的近似值: 由知取
, 利用递推公式
在
, 使
为半径的球面.
在区间（-l , 0）内有惟一的实根, 并用切线法求这个根的近似值, 使
上连续, 且
, 即方程
在区间（-1, 0）内
,
, 在区间（-1, 0）内有惟一
, 故函数f （x ）在[-1, 0]上单调增加, 从而方程
在（-1, 0）内至多有一个实根, 因此方程
, 得:
故使误差不超过0.01的根的近似值为
8． 计算下列极限：
（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）
第 4 页，共 31 页
（k 为正整数）。
相关内容
相关标签