2017年湖南师范大学高等数学之高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求下列伯努利方程的通解
【答案】（1）将原方程改写成且原方程化为
其中故即
为所求通解。
并
令
故原方程的通解为
或写成
（3）将原方程改写成
，并令
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，并令
（2）将原方程改写
成
则且原方程化
为
则
于是原方程化为
即为所求通解。
并令
则
（4）将原方程改写成且原方程化为
故原方程的通解为（5）原方程可写成且原方程化为
即
令z=y, 则
-2
故原方程通解为
或写成
2． 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
【答案】（1
）将原方程写成
，两端乘以
，
得
即
由
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此得离变量，得
代入初始条件：
积分得
两边平方，得
得
故有分
代入初始条件：x=1, y=1，得C=±1，
于是有由于在点x=1处，y=1, 故在x=1的某邻域内y>0,
因而特解可表示为
（2）令入初始条
件
代入初始条件
（3）因
则
，原方程化为
得
从而
有
得
，故所求特解为故积分得
分离变量即
即
积分得
代
又积分
得
并由初始条件x=1,
又因x=1时，故积分得
又因x=1时，y=0, 故再积分得
（4
）在原方程两端同乘以
入初始条件：
得
代入初始条件：x=0, y=0,
得
（5）在原方程两端同乘以入初始条件
分
得
代入初始条件：（6
）令
则
得
得从而有
得
于是得特解
分离变量，
得
由初始条
即并由于
，
故取
积分得
代
分离变量后积
得
得
从而有
于是得特
解
即
即
积分得
分离变量后积分
代即
原方程变为
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