2017年复旦大学高等数学(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 化下列方程为齐次方程，并求出通解
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）令4Y+2h+4k-6）dy=0.
令
原方程化为
（2X-5y ） dX-（2X+4y）dY=0,
即
则原方程成为积分
得故上式成为得原方程的通解（2）将原方程写成且原方程化为则原方程成为积分
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则
且原方程成为（2X-5Y+2h-5k+3）dx-（2x+
解此方程组得h=1, k=1。故在变换x=X+1, y=Y+1下，
，又令，有，即
，
。
，即
，代入
，令
。又令
，有
，因，
则，
即
得原方程的通解（3）令+7k-3h+3）dY=0.
令
，解此方程组，得
则
将
代入上式，
且原方程成为（3Y-7X+3k-7h+7）dX+（7Y-3X
故在变换下，
原方程化为（3Y-7X ）dX+（7Y-3X ）dY=0. 即
则原方程成为积分即将
代入上式，得原方程的通解
，
该方程属于
，则将，其中，求函数值
【答案】由
可得
由对称性可知
又
，则 。
，且原方程成为代入上式，得原方程的通解
，
二阶可导，
即
，
类型的，
一般可令
积分
，又令
即，得
，有
，
（4
）将原方程写成
。令
得 2． 设又
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则又
，故
，则
。
，故
则
3． 若函数
恒满足关系式
就称为k 次齐次函数，
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
。
4． 求函数
令其为0，解得驻点为
又闭区域
在区域
对
的偏导，得
。
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。
，则 ，
上的最大、最小值。
，并
【答案】由题意，分别求出函数
。可知，该驻点在区域D 内，且
的边界由四线段构成：
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