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一、综合题（计算、解答、证明）

1． 设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于到71之间的阻带衰减大于转换，采样间隔T=1ms。

【答案】本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描 述如下：

采用脉冲响应不变法转换，所以，相应的模拟低通巴特沃斯滤波器指标为

（1）求滤波器阶数N 及归一化系统函数

取

查表法可知模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为

将

部分分式展开：

其中，系数为

（2）去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数

为

我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以求3dB 截止频率

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时，容许幅度误差在之内；频率在

试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行

其中，

（3）用脉冲响应不变法将

转换成数字滤波器的系统函数

我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在的频率混叠失真，使设计的滤波器阻带指标变差。另外，由该题的设计过程可见。当N 较大时，部分分式展开求解系数

或

相当困难，所以实际

工作中用得很少，主要采用双线性变换法设计。

2． 假设信号及其频谱如图所示。按因子D=2直接对x （n ）抽取，得到信号y （m ）=x （2m ）。画出y （m ）的频谱函数曲线，说明抽取过程中是否丢失了信息。

图

【答案】由抽取原理知道，按因子D=2对得到信号带宽为

丢失原信号

中

抽取时，抗混叠滤波器的截止频率为

D = 2, 而的频率成分信息。本题中，

所以的

所以，抽取过程中不会丢失信息。由时域采样理论，画出y （m ）的频谱如图所示。

图

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3． 图1中有4个网络，分别画出它们的转置网络，并且用Mason 公式说明为什么转置网络与原网络有相同的系统函数。

图1

【答案】（1）转置网络如图2（a ）所示，它与原网络都只有一个环路，环路传输均为网络有相同的系统函数

（2）转置网络如图2（b ）所示，它与原网络的环路情况以及由X 到Y 的通路情况完全相同，即：一个环路传输为

的环路，两条由X 到Y 的通路，通路传输分别为：

这两条通路都

与环路接触。所以这两个网络的系统函数都是

（3）转置网络如图2（c ）所示，它与原网络都是前馈网络，即没有环路；由X 到Y 的通路情况也相同。 所以这两个网络的系统函数都是

（4）转置网络如图2（d ）所示，它与原网络的环路情况以及由X 到y 的通路情况完全相同，即有3个环路，环路传输分别为：

其中，环路（1）和环路（2）互不接触，因此, Mason 公式的分母为：

从源点X 到汇点y 只有一条通路，并且这条通路与所有的环路都接触，于是Mason 公式的分子为

所以转置网络与原网络的系统函数均为

由x 到

y 又都只有一条通路，通路传输均为1; 并且都是通路与环路相接触。故根据Mason 公式，这两个

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