2017年大连交通大学理学院601高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
2． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此 3． 二次型
A. 正定
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均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
是（ ）二次型.
B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
是不定二次型，故选B.
方法2 设二次型矩阵A ，则
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
5． 设线性方程组的解都是线性方程组
的解，则（ ）。
【答案】（C ） 【解析】设的解空间分别为
则
所以
即证秩
二、分析计算题
6． 设S 是酉空间V 的一个非空集合，记
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.
）
证明：是子空间，且并举例说明
有
不一定成立. 所以
【答案】对给定的集合S ，显然V 的零元素属于
，对任一（复数域）
所以
即由又可见因此
不一定成立，如在酉空
间S 不是V 的子空间，但
7． 设％是线性方程组的一个解，
证明:线性方程组的任一个解都可表成
其中
令
8． 设f ，g 为两个不全为零的多项式. 证明：
【代x 亦有故②设故反之，设
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的任意性知
由题设知
中，
取
是V 的子空间.
是V 的子空间，所以
是它的导出方程组的一个基础解系，令
【答案】线性方程组的任一
解可表
成
则
答
于是存在多项式
则存在
使
使
案
】
则由（1）中第二式可得第一式，从而可知：