2017年大连交通大学理学院601高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系. 考虑到 2． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此 3． 设
线性相关，所以线性相关，故选A.
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
是
的一个特解，所以选C.
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
的解.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
故是的基础解系. 又由知是的特解，因此选B.
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 二次型 A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1 方法2 设二次型矩阵A ，则 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 是（ ）二次型. 是不定二次型，故选B. 由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式 从而否定D ，故选B. 二、分析计算题 6． 若 可逆，且证明 ：可逆，并求【答案】证法1:因为 所以E —BA 可逆. 令 因为 由式（1）得， 由式（2）得， 所以 即 比较右下角块可得 证法2:因为可逆，所以存在可逆矩阵C ，使 从而 两边左乘B 得