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一、选择题

1． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2 设二次型矩阵A ，则

是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B. 2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

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则A 与B （ ）.

使

其中故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

因此A 与B 合同.

3． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而 4． 设

其中A 可逆，则A.

B.

C.

D. 【答案】C 【解析】因为 5． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

所以A 的特征值为3，3，0；而

则A 与B （ ）.

=（ ）.

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则

也不是线性变换，

比如给

二、分析计算题

6． 设

【答案】

设又

所以

为互异的整数，求证

在有理数域Q 上不可约.

这

里

在有理数域可约，

令

从而

和

中有一个1和一个-1，因此

由根的个数定理知

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所以

7． 设

推得

是数域K 上线性空间V 到的一个双射. 证明：

是同构映射，则

反之，若上式成立，则取从而为同构映射.

8． 设

求

之值.

故有

所以

分别得

首项系数为1矛盾. 是同构映射当且仅当

【答案】若

【答案】

9． 设

①②若

则T 可逆

【答案】①任取

证明： 是

的线性变换； 可逆. 则

故T 是线性空间②若又若是T （H ）

则

的线性变换.

有

即T 为满射.

使

于

即T 为单射. 故T 可逆. 矛盾（因为T 可逆必为单射）.

使

也矛盾.

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且A , B可逆，则任取

反之，若T 可逆，则方阵A 与B 必可逆. 若不然，设A 不可逆，则存在方阵同样，若B 不可逆，则存在