2017年大连交通大学理学院601高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
3． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
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都是4维列向量，且4阶行列式
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3，3，0；而
所以向量组
线性无关.
线性无关.
则A 与B （ ）.
使
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其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
因此A 与B 合同.
二、分析计算题
6． 设A 是n 级实对称矩阵. 证明:存在一正实数c 使对任一实n 维向量X 都有
【答案】根据本章习题10, 有正实数是正定矩阵，因此有正实数c 使
.
都是正定矩阵.
于是对任一个n 维实向量X ，都有
因此
从而有
7． 计算：
（1）
（2）
使
（3） （4）
（5）
（6）
（7）
（8）
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