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一、计算题

1． 求函数

【答案】设

令

解得

依题意, 相当于求n 维空间中原点到超平面

的最短距离. 由几何学知, 最短距离存在,

在条件

下的最小值.

而稳定点只有一个, 故一定在惟一稳定点处取得最小值, 故

2． 设是开集.

【答案】（1）任取可微, 连续;

（2）对于

时, .

则由定理可知

使开集

由于

所以y 0

为内点, 故f （D ）为开集.

3． 求下列函数的极值点:

（1）（2）（3）

【答案】（1）解方程组

得稳定点（a ，a ）, （0, 0），

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, 而且适合（1） f 在D 上可微, 且连续; （2）当时则f （D ）

, 则使, 因为是开集f :且满足, 在D 上

由于

所以（a ，a ）为极大值点，

所以（0, 0）不是极值点， （2）由

得稳定点（1，0），

故函数f （x ，y ）在点（1，0）取得极小值• （3）解方程组

得稳定点:由于

所以

4． 求函数

在该点切线方向导数.

【答案】因曲线过点（1, 2, ﹣2）, 所以M 的切线方向的方向余弦为:

而

故所求方向导数为:

于是

故曲线在点

在点M （1, 2, ﹣2）处沿曲线

为极小值点.

二、证明题

5． 证明:若函数f （x , y ）在有界闭区域D 上可积, 则f （x , y ）在D 上有界.

【答案】假设f 在D 上可积, 但在D 上无界, 那么, 对D 的任一分割个小区域上

无界.

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,, 必在某

当时, 任取, 令

由于f 在上无界, 从而存在从而

使得

另一方面, 由f 在D 上可积知:存在当

时, T 的任一积分和

, 对任一D 的分割都满足

这与①式矛盾, 因此f 在D 上有界.

6． 证明下列结论:

f x ）（1）若（在[a, b]上严格递增, 且对f x ）（2）设（与g （x ）

在【答案】（1）假设从而有

（a ）为极限, 从而数列

当再证:当即

7． 设f （x ）在[0, 1]上连续，且收敛.

【答案】对任意的存在使得当从而

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,

）有

, 对任意正整数k ,

,

（正常数）, 即数列

的子列

知

,

, 使得, 于是

时有

, 即

, 则, 则, 使得

. 不以f

上有定义, g （x ）单调, 且

, 则

已知f （X ）在[a, b]上严格递增, 所以有

也不以f （a ）为极限, 矛盾, 于是

.

由

（2）不妨设g （x ）单调递增. 对

时有

时有

（反证法）若结论不成立, 即存在

, 矛盾. 从而当

,

, 由g （x ）单调递增, 则有

在[0, 1]上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致

，因为收敛，所以从而

，

由于f （x ）在[0, 1]上连续，所以f （x ）在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

使f （x 0）为f （x ）在[0, 1]上的最大值，从而存在时

，

由于

收敛，故该级数在[0, 1]上绝对且一致收敛.