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一、计算题

1． 求下列均匀密度的平面薄板质心:（1）半椭圆的等腰梯形.

【答案】（1）设质心位置在

, 由对称性

,

（2）设等腰梯形在直角坐标中位置如图, 其质心位置为

图

其中

2． 计算线积分

【答案】如图所示

所以

, 其中ABC 为三点A （1, 0）, B （0, 1）, C （﹣1, 0）连成的折线.

. , 由对称性

,

（2）高为h , 底分别为a 和b

图

3． 求函数

在该点切线方向导数.

【答案】因曲线过点（1, 2, ﹣2）, 所以M 的切线方向的方向余弦为:

而

故所求方向导数为:

4． 讨论反常积分

【答案】当故当所以

时, 对一切发散, 从而

时, 对一切

收敛, 又

有

存在, 故

不可导;

可导.

仅在原点不可导, 其余点可导, 从而也连续, 从而

或

仅在己知点处处不可导, 不连续, 可知

仅在

仅在点

仅在点不可导.

仅在

, 处可导, 其他点

的敛散性.

有发散.

而收敛.

收敛,

而

发散,

于是

故曲线在点

在点M （1, 2, ﹣2）处沿曲线

5． （1）举出一个连续函数, 它仅在已知点

（2）举出一个函数, 它仅在【答案】（1）由于函数仅在

处不可导, 其他点处可导,

进而

或

（2）由于狄利克雷函数

处可导且导数为0, 其他点不可导, 进而不可导, 依此进行, 可得函数利克雷函数.

6． 设

在点

（i ）在（ii

）在

处不可导, 其余点可导, 依此进行, 可得函数

处可导, 其中D （x ）为狄

的某邻域

1上, 对每个

上有定义, 且满足: . , 存在极限

都有

（即对任意

成立）.

存在

当

上, 关于x

一致地存在极限

时, 对所有x , 只要

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试证明【答案】先证明条件（ii ）, 存在因此, 当令不妨设下面证明对于当

因为由条件（i

）得

存在. 当时

, 且

时, 且

有

, 根据柯西准则, 可证

存在.

就有

利用（ii ）及前面的结论

,

且 y 与y 0充分接近时, 可使

当所以

时, 有

再将y 固定, 由条件（i ）, 存在因此

即

二、证明题

7．

设

为递减正项数列, 证明:级数

的部分和为

与级数

同时收敛或同时发散. 的部分和为

因为

为递减的正项数列

, 故

故若

:又有

故若同.

8． 设正项级数

（1）（2）

发散.

用分点

【答案】设级数

收敛, 则也收敛；若发散, 则也发散.

收敛, 则也收敛；若发散, 则也发散. 由上可知两级数的敛散性相

发散,

, 令, 求证:

【答案】（1）把分成无限个小区间,