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一、证明题

1． 用

方法证明:

【答案】令∴

取

则当

时, 有

即

2． 证明极限

存在.

有

令 即由

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【答案】由（1）的结果, 对每一

则

有下界,

得严格单调递减,

根据单调有界定理, 知

存在.

收敛, 即存

在, 故

3． 设

和在点

的某邻域内存在

,

令

在点连续

, 证明

则

也存在, 且

【答案】对于固定的

x 0

与分中值定理,

即有 于是有

有:

在

y 0的邻域可微, 从而由微

故

4． 证明:若

【答案】若从而

5． 设

是闭区间

上的连续可导函数

. 记证明:

【答案】用反证法:若但

而在某个

是有限集.

无限, 则

存在

, 且为递增数列, 则无界, 则

等式成立. 若命题得证.

有界, 由单调有界原理可得

存在,

. 假设且

内亦有

于是当n 充分大时,

介于

与x 之间, 这与Lagrange 中值定理矛盾. 所以

是有限集.

二、解答题

6． 求曲线.

【答案】切向量

, x+y+z=0在（1, -2, 1）点的切线方程.

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所以切线方程为

或

7． 设a>0, b>0,

求

【答案】当

和

.

时

, 被积函数趋向于

0,

所以积分是正常积分. 注意到

则原积分可写成

由于

在

（设a

记

, 连续使用分部积分法可得

即

于是

8． 若对任何充分小的

令

, f 在, 则

, 且

上连续. 能否由此推出f 在（a , b）内连续.

是f 的间断点,

于是, x 0是f 在区间

【答案】能. 用反证法. 假如f 在（a , b）内不连续, 则必有某一点上的一个间断点. 这与题设矛盾, 故f 在（a , b ）内连续.

9． 设:二阶可导, 且有稳定点; f :且

（1）试求f 的所有稳定点;

（2）证明f 的所有稳定点都是退化的. 即在这些稳定点处,

是退化矩阵（即在稳定点处

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）.