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一、证明题

1． 设

点

到集合E 的距离定义为

, 则

;

.

因而或

,

若

若

即

2． 证明:若

【答案】由于当

时

即且

. 则因此, 当

存在正整数N , 使得

时, 有

又因为

3． 设f 在

【答案】由即f （x

）在可得.f （X ）在

上连续, 且

, 证明

, 当x>X时, 有

上连续知, f （x ）在分拆成两项

其中第一项当

时必趋于零. 事实上

对第二项使用第一中值定理, 存在

, 使

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. 证明:

（1）若E 是闭集

（2）若是E 连同其全体聚点所组成的集合（称为E 的闭包）. 则【答案】（1）因为E 为闭集, 所以E 的余集

, 现

（2）一方面

,

, 存在点列另一方面, 点, 因而

, 使这表明

.

若

, 使则

又

, 即

.

这说明X 为E 的聚点, 所以不论

有

即

由

于, 即表示或. 故

都有

即

, 但

为开集,

由

. , 因

而

,

故

,

使则由

于

. 即X 为E 的聚

综合两方面, 有

根据数列极限的保号性知, 对任意的

由迫敛性

从而

上有界. 综合上面

知, 对于数1, 存在内有界, 又由f （x ）在上有界. 设

, 将

由于

时

,

, 所以

, 从而

故证得

4．

求

f （x ）

=x3在区间

上的傅里叶级数展开式, 并由此证明:

【答案】因为f （x ））在

上可积

, 所以可展开成傅里叶级数. 而

故

显然, 当

时, f （x ）

=x连续, 故

当x=0时, 级数收敛于于是由式（1）可得

, 即

.

. 再在式（1）中, 令

5． 设f n （x ）是[0, 1]上连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于f （x ），

证明：[0, 1]上连续，

从而

故本题等价于证明

因为f n （x ）在[0, 1]上一致收敛于f （x ）, 所以对任意的从而对任意的n ＞N 有

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3

, 可得

.]

【答案】因为

f n （x

）是[0, 1]上的连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于f （x ），所以f （x ）在

，存在N ＞0使得

即

. 从而结论得证.

二、解答题

6． 求下列曲线的弧长:

（1）（2）（3

）（4

）（

5）（6

）

【答案】 （1）

（2）曲线的参数方程为

, 于是弧长

（3）

（4）

如图所示. （5）

（6）

;

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