2018年北京师范大学数学科学学院717数学教育综合之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 按
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
对任意
由
则当
时.
（2）因为
所以
对任意
由
得
取
则当
时,
（3）当n 为偶数时,
当n 为奇数时,
对任意
2． 设f （x , y ）为在[a, b]上一致收敛.
【答案】任取一个趋于
的递增数列
（其中
）, 考察级数
上连续非负函数,
在[a, b]上连续, 证明I （x ）
取
则当
时,
, 故
故
定义证明:
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由于
3．
求证:
上
且连续, 从而
且在[a, b]上连续由狄尼定理得级势
在
[a,
b]上一致收敛, 由（
a ）推得I （x ）在[a, b]上一致收敛.
.
, 使得
只需再证明
将（1）式左端中的变易为x 作辅助函数
.
由此可见
是函数f （X ）在
内的惟一极值点, 并且是极大值点. 从而
【答案】
对任意给定的x>0, 由柯西中值定理,
是函数f （X ）的最大值点于是
显然由（2）式推出（1）式, 所以本题结论成立.
4．
设f
为
【答案】设中值定理,
存在
, 使得
上的单调递减函数, 证明:对任何正整数n 恒有
, 贝岫题设知, g （
x ）在
上为非负、递减函数. 由积分第二
二、解答题
5． 研究函数
【答案】当
时,
的连续性.
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当时,
当当
时,
时,
无定义
.
在在
6． 求指数, 使得曲线积分
【答案】设
,
, 则
由
得
. 这时
, 所以积分与路径无关, 由于
I.
及
所以
7． 设a>0, 求曲线
【答案】设数为
处不连续. 处在
无定义, 从而也不连续
.
上都连续. ’与路线无关
, 并求k.
上的点到xy 平面的最大与最小距离.
为曲线上任一点, 易知z>0, P 到xy 平面的距离d=z, 构造拉格朗日函