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一、证明题

1． 证明定理: （1）设f 在时的无穷大量. （2）若g 为

【答案】（1）因为f 在正数M ,

因为f 为使得当（2）因为g 为于是,

存在即为 2． 设

【答案】因使得当令

收敛, 且在

且

在

上一致连续, 证明

在使得当

时的无穷小量. 时的无穷小量, 即

时,

’即

存在正数

故为使得当由g 为即

时的无穷大量

时,

时的无穷大量知, 故

,

内有定义且不等于0. 若f 为时的无穷大量, 则

为

的无穷小量, 则为

时的无穷小量.

内也有定义. 对于任意大的

;

内有定义且不等于0, 所以在

时的无穷大量, 故存在内有定义. 对于任给的

时,

上一致连续, 故对于

时, 有

则由积分第一中值定理得,

使得

因也即取

收敛, 故级数故对上述的则当

收敛, 从而存在

使得当

即

时,

.

时, 因

故存在惟一的, 使得

.

易见,

且

从而

3． 设

【答案】

, 证明

4．

设a

, b , c 为实数. 求证:

方程有四个不同的零点两个不同的零点; 函数

的根不超过三个.

, 那么函数

必有三个不同的零点; 函数

有

无零点, 这便产生矛盾. 这矛盾说明反

应用罗尔定理可知函数有一个零点. 然而已知函数

【答案】用反证法. 假设方程有四个不同的根

证法假设不成立, 即方程至多只有三个根.

5． 设f （x ）是非负函数, 在[a, b]上二阶可导, 且有根, 就只能有一个根.

【答案】

设

, 使得

.

首先有

.

, 求证:方程f （x ）=0在（a ,

b ）内如果.

事实上, 由假设

,

其次, 假定存在证明可得

这与

6． 设f

（X

）在I

再在

的假定矛盾.

（不妨设上对

, 使得

用罗尔中值定理, 则存在

）那么根据上述

,

使得

上可微, 且对x>l满足

证明:【答案】记

. , 则

因此

若

存在广义极限, 记为

L. , 对g （x ）在

. , 则

上应用拉格朗日中值定理, 存在

. 这表明在

使得

上存

在一个点列, 使得

另一方面, 由令

可得

这显然与刚才的结论矛盾, 所以

,

7． 证明定理得

【答案】 （1）先证定理 （连续性）若函数项级数都连续, 则其和函数在[a, b]上也连续.

设则

因为有

且

又由使得当

从而上连续.

（1

）下面证定理（逐项求导）若函数项级数数

,

为

的收敛点, 且

在[a, b]上每一项都有连续的导函

在[a, b]上一致收敛, 则

不妨设级数性可知,

在[a, b]

上一致收敛于

由

对

在区间[a, b]上一致收敛, 且每一项

为[a, b]上的任意一点, 为级数的部分和函数列,

, 故对任意在[a, b]上一致收敛于S （x ）存在N , 使得当n>N时, 对一切

连续可得

,

且

时, 有

在[a, b]上连续, 故对上述的

. 存在

,

所以的和函数S （x ）在处连续. 由的任意性, S （x ）在[a, b]

连续及的一致收敛

在[a, b]上连续. 又由定理得, 对任意

两边求导, 得, 即