2018年北京师范大学教育学部873数学[专业硕士]之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 试证明
【答案】数集
有上界而无下界. 对任意的
而
故3是数集S 的一个上界.S 无下界, 因
为对于任意一个正数M , 令
2． 证明:在R 上严格增.
【答案】设
则
即
故
在
上严格增. , 函数.
及
故f （x ）为I 上的凸函数.
必要性, 设f （x ）为I 上的凸函数, 则对任何的
及
有
故
4． 证明：函数项级数
【答案】由于收敛.
对任意的
，存在
使得
由于对任意
在
上不一致收敛，但和函数在，所以
不一致收敛于0，从而
上无穷次可微. 在（0，+∞）上不一致
为[0, 1]上的凸函数.
为[0, 1]上的凸. , 有
3． 证明:f 为I 上凸函数的充要条件是对任何函数.
【答案】充分性, 设
为[0, 1]上的凸函数, 则对任何的
的所以
在
有, 且由根式判别法易知
上一致收敛，
收敛，
从而用数学归纳法可得和函数在X 0上无穷次可微. 由X 0的任意性可知和函数在
上无穷次可微.
二、解答题
5． 求下列极限:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】 （1）（2
）（3）
（4）（5）由
得到
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（6）
6． 等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比, 试由此给出变速旋转的角速度的定义.
【答案】
设旋转角
与时间的函数关系为而时刻t 的角速度定义为
7． 用拉贝判别法判别下列级数的敛散性:
（1）（2）
【答案】（1）因为
所以（2）因为
由拉贝判别法, 当x>l时原级数收敛；当x<1
时原级数发散；当x=l
时, 原级数化为发散.
8． 设
f :
（2）
.
【答案】（1）因为（2）令
因为
也
故由拉贝判别法可得原级数收敛.
, 则时刻t 到
内的平均角速度为
为可微函数, 试求分别满足以下条件的函数, f （
x ）: （1
）
, 即以所以有
（单位阵）;
为主对角线元的对角矩阵