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一、计算题

1． 求心形线

【答案】

的切线与切点向径之间的夹角.

由半角公式

得

. 故当

时,

; 当

时,

2． 试证:在原点（0, 0）的充分小邻域内, 有

【答案】设

则

故

3． 求下列函数在给定区间上的最大最小值:

【答案】（1）由于（2）令于是, 当t=1, 即（3

）

时

,

值不存在.

4． 是否存在

由

时, 由

故函数在, 故舍去, 由

知

, .

, .

时, 函数取最大值1. 又因

,

由

得稳定

点

,

当.

又因

’, 最小值不存在.

时

,

;

当. 故最大

, 由方程, .

,

得稳定点

.

比较它们的大小知, 函数在x=－1处取最小值－10, 在x=1处取最大值2.

处取最小值, 最小值为

的连续可导函数

知,

为满足:在

且

则

当

【答案】方法一 若存在满足这些条件的函数,

上严格单调递増, 又

由

存在, .

根据单调有界定理,

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由又知由于是

连续, 可知

存在及这与

从而存在, 必有

矛盾, 所以假设不成立,

所以这样的函数不存在.

方法二 假若存在满足这些条件的函数, 由又由对于是从而显然, 当

时, 有

, 得有

这与条件矛盾, 所以这样的函数不存在.

知

在

上严格单调递增,

二、证明题

5． 设函数f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导, 且满足

证明:至少存在一点【答案】令

中值定

理知,

, 使得

因此,

由罗尔定理可知, 故有

6． 证明下列不等式:

（1）（

3）

【答案】（1）因为续, 且不恒等于1或

, 所以由积分不等式

, 使.

, 则F （x ）在[0, 1]上连续, 在（

0, 1）内可导

. 由题设, 利用积分

, 使得由于

（2）（4）（

, 函数

在

上连

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即

（2）因为在[0, 1]上, （3）由于在

上,

, 且函数不恒等于1和e , 所以有

, 所以有

（4）设大值点,

,

则, 得f （X ）在[e, 4e]上惟一的驻点为. 可验证它是极

而可导函数惟一的极大值必为最大值, 所以又

从而

7． 设f

在点证明:

可微, 且在P0给定了n

个向量,

且, 由此得

为函数f （x ）在[e, 4e]上的最大值,

, 故

在[e, 4e]上的最小值,

, 相邻两个向量之间的夹角为

,

【答案】由于

所以

而

故