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一、证明题

1． 设f （x ）为[a, b]上连续函数, 且对任一满足

有

【答案】令

>

则g （x ）在[a, b]上连续, 且

,

由题设有

于是

从而即

为常数.

2． 设f （x

）在

【答案】令由于

上可微, 且

, 则

, 因此g （x ）为, 从而可知g （X ）=0, 即

3． 设f （X ）为二阶可微函数, F （X ）为可微函数, 证明函数

满足弦振动方程

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的连续函数g （X ）,

, 证明f （x ）为常值函数.

证明:在上f （x ）=0. .

上的单调递减函数, 所以

.

及初值条僻【答案】

—, .

所以

4． 设数列

证明:（1）若（2）若

满足:

有界, 则

也有界;

有界知, 存在M0, 使得

, 由递推关系式可知,

收敛, 则

也收敛.

【答案】（1）由己知条件

由此可知, （2）设

有界. ,

则

当nN 1时, 有

即

第 3 页，共 34 页

. 于是有

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对上述

故 5．

设

定义在闭矩形域

固定的

上, 若f

对y

在

上处处连续

, 对X 在（a , b]上（且

当

,

且

的任何y , 只要

. 当nN 时, 可使

, 从而, 当nN 时, 有

关于y ）为一致连续, 证明f 在S 上处处连续.

【答案】

设

时,

有且

现取

便有

只要

f

时, 总有

因此, f 在S 上连续.

6． [1]证明:若数列

[2]证明:若数列（1）级数（2

）当（1）（2）（3）

【答案】[1]级数的前n 项和

.

而

，所以

即 [2] （1）级数的前n 项和

第

4 页

，共 34 页

为y

的连续函数, 故对

也存在

对满足

又由于对x 关于y 为一致连续. 故对上述

收敛于a ，则级数. 有

发散；

，则

.

时

，级数

[3]应用第[1][2]题的结果求下列级数的和.