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一、证明题

1． 设随机变量

独立同分布, 且

试用特征函数的方法证明:

【答案】因

为

, 这正是伽玛分布

2． （1）设布函数

其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数. （2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1）

与

的联合密度函数为

做变换

的联合密度为

由此可以算得

的边际密度为

的分布函数为

（2）对于指数分布

由（1）中结果, 有

3． 设A ，B 为任意两个事件，且

【答案】

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, 所以由

诸的相互独立性

得特征函数为

的分

的特征函数, 由唯一性定理知

和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差

时, 样本极差的分布函数.

其逆变换为

雅可比行列式绝对值为,

于是

与

则成立.

4． 设随机变量序列UJ 独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即 5 设．在, 且N 与

时, 有

当, 结论得证.

为独立同分布的随机变量序列, 且方差存在. 随机变量N 只取正整数值, 独立. 证明:

【答案】因为

所

以存

时, 有

令

6． 设随机变量

【答案】若随机变量而

这就证明了

证明

则

也服从

从而

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7． 设是来自的样本, 是来自的样本, 两总体独立.c , d

是任意两个不为0的常数, 证明

其中

【答案】由条件有

且

相互独立, 故

于是

,

与

分别是两个样本方差.

8． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

二、计算题

9． 设

是来自拉普拉斯（Laplace ）分布

的样本, 试给出一个充分统计量. 【答案】样本的联合密度函数为

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