2017年北京市培养单位生命科学学院803概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
服从多项分布
其概率函数为：
其中即
其中
，i=l, ……k ,
.
记
并把这一分布记作
. 证明：的后验
为参数，
若
的先验分布为Dirichlet 分布，
分布为Dirichlet 分布
【答案】因为的后验概率函数为
所以的后验分布服从Dirichlet
分布
，其中
2． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：
（1）（2）
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
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3． 证明:容量为2的样本
【答案】
4． 设
是来自
的样本,
是来自
的样本, 两总体独立.c , d
的方差为
是任意两个不为0的常数, 证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立, 故
于是
,
与
分别是两个样本方差.
5． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为a/（a+b），与n 无关.
【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球容易B ，C 互不相容，看出，事件A ，且
记
以下对n 用归纳法：
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又设为“有n 个红球时，白球比黑球出现得早”，
（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着：第一次就取出白球，所以有（2）设其中
则
代入可得
由归纳法知结论成立.
6． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证
：上的均匀分布.
【答案】因为X 的密度函数为
又因为
，且的可能取值范围是（0，1）
所以
是严格单调减函数，其反函数为
的密度函数为
即
又
由
都服从区间（0，1）
知
也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证.
7． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为
, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为
【答案】设取自同一总体的两个样本为由
得
由
得
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,
样本方差分别为
证明: