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一、证明题

1． 设随机变量X 与Y 相互独立, 且方差存在。证明:

【答案】

2． 设（

【答案】

）是充分统计量.

的联合密度函数为

注意到

是已知常数, 令

取

由因子分解定理, （

3． 设

是来自泊松分布

）是（的一个样本.

在显著性水平为时给出其拒绝域；

（2）证明（1）中的拒绝域也是如下检验问题

的显著性水平为的显著性检验的拒绝域；

（3）在样本量n 较大时，利用中心极限定理给出近似的拒绝域. 【答案】（1

）泊松分布

的充分统计量是，

它是的无偏估计.

若原假设

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, 诸独立, 是已知常数, 证明

）的充分统计量.

（1）利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题

成立，

则不应该很大，因此，当较大时，就应该拒绝原假设所以此检验的拒绝域应有如下形式

其中c 应由给定的显著性水平确定，即c 由下列概率不等式确定

或

由于原假设成立下

则由

可得

不是一件易事.

（2）若将上述拒绝域作为（2）检验问题的拒绝域，我们只需要证明该检验的势函数是单调增的即可说明它也是（2）的显著性水平为a 的显著性检验. 此处该检验的势函数为

其中m 为如下整数

考察

的单调性，为此求其导数

所以势函数大.

（3）当样本量n 较大时，由中心极限定理可得原假设成立时

对给定的显著性水平有

即拒绝域W 中的临界

值

即当n=10时，若

则应拒绝原假设

譬如

，

，n=10

和

时，

有

的渐近分布

是的严格増函数. 由此可知，在原假设

上

在

处达到最

故

若令泊松分布

的

分位数为这里

的寻求还

所以在给定理时，

该检验的拒绝域为

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4． 设随机变量X 与V 相互独立, 且证:

相互独立, 且

【答案】因为X 与Y 的密度函数分别为

试

下求（U , V ）的联合密度函数,

因为可比行列式为

所以, 当

时, 有

可

见

5． 设不是有效估计.

【答案】设

是0的任一无偏估计，则

即

将（*）式两端对求导，并注意到

有

这说明

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的反函数为, 且变换的雅

可分离变量, 故

U 与V 相互独立, 其

中

求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它

我们将（**）式的两端再对H 求导，得