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一、证明题

1． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：

【答案】由于其中

代回原式即得证.

2． 试证：对任意的常数

【答案】于所以

3． [1]设随机变量

[2]

设

【答案】利用变换

由此得，求

，证明：

及偶函数性质可得

[2]在题[1]中令

即可得结论.

有

由

存在，所以级数

绝对收敛，从而有

4． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.

【答案】因为

所以由单调性知

从而得

又因为

所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.

5． 证明下列事件的运算公式：

（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有

所以

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6． 设明:统计量

（1）若函数

也存在. 于是

, 当

则

时,

）上取值, 所以当

是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证

服从

这是因为F （x ）的反

其中（2）若（0,

当

时, 有

这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3

）由

与（2）可知

7． 设总体X 服从双参数指数分布, 其分布函数为

其

中明,

【答案】令

服从自由度为2的（1）, 则

为样本的次序统计量. 试证分布

的联合密度为

作变换

的相互独立性可导致

分布函数, 即

（2）. 相互独立, 由（1）

所以

仅在

（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故

【答案】分几步进行:

且F （x ）为连续严增函数, 则

的分布函数为

其雅可比（Jacobi ）行列式为合密度我们可以知道

的联合密度为

从而

由该联

是独立同分布的随机变量, 且

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这是指数分布就证明了

8． 证明公式

的分布函数, 我们知道

,

就是

也就是. 这

其中

【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.

注意到将等式右边的求导可给出_

而对

k=0.

对

其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,

也为明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证.

这就证

二、计算题

9． 己知

【答案】由条件概率的定义知

其中

再由

可得

10．某种绝缘材料的使用寿命T （单位：小时）服从对数正态分布小时，

【答案】由位数为

其中

为标准正态分布N （0，1）的分位数，所以根据题意有

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代回原式，可得

若已知分位数

的平p 分

小时

，

知对数正态分布