2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]之高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
所以f 为正定的.
2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
3． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
，
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与是
的两个线性无关的解.
的一个特解，所以选C.
则A 与B （ ）.
C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
所以A 的特征值为3，3，0；而
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
二、分析计算题
6． 设A 为n （
【答案】由两边取行列式得1.
若于是
则
矛盾，故
由式
得
由卵为奇数，则
7． P 是数域
，
【答案】（1）
（2）由上一问题得
的奇数）阶实方阵，若A 的每一个元素等于它自己的代数余子式，且至少有得
于是
则
注意到A 为奇数阶实方阵，劼
或
一个代 数余子式非零，求证1是A 的特征值.
故1是A 的特征值.
E 是单位阵，且AB=A-B, 证明：
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