2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院841高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
2． 设n （n ≥3）阶矩阵
，
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
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【答案】B 【解析】
3．
设是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基到基
【答案】（A ）
4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
5． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为
所以向量组
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线性无关.
线性无关.
二、分析计算题
6． 设
问a ，b 满足什么条件f （X ）正定.
【答案】（1）当变元的个数为偶数2m 时，f 的矩阵为
于是
，故故A 的特征值为a+b，a-b （均为m 重）（2）当变元的个数为奇数2m+l时，a+b，a —b ，f 正定 7．
设
（1）证明：（2）证明：【答案】（1）显然，
所以
（2）
故线性方程组
8． 化以下各
【答案】分别用①
表示以上三个矩阵.
矩阵为标准形：
有解.
必有解.
的解是因此
与
的解. 又设
同解，所以
所以
则
综上所述，f 正定
故A 的特征值为
与均为实数.
即
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