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一、分析计算题

1． n 级欧氏空间V 的线性变换，满足迹等于

在V 之某基底下对应矩阵的迹数）.

目

.

则由式. ，则

（1）当（2）当

知 时，则

时，n 为偶数，此时

那么

是A 的零化多项式. 设

为A 的最小多项

【答案】取V 的一组基

证明：迹

（题中

表示零变换，

（3）当

时，

2． 设

是数域P 中互不相同的数，

是数域P 中任一组给定的数，用克

使

拉默法则证明：存在惟一的数域P 上的多项式

【答案】设数域P 上满足条件

将

代入

得

次多项式

看成

的线性方程组. 未知量与方程的个数都等于n ，其系数行列式为

这是一个范德蒙德行列式.

因为 3． 设

【答案】（1）因为

证明：

各不相同，

所以

存在且惟一.

根据克拉默法则

，

有解且惟一. 所以满足题设条件的多项式

由哈密尔顿-凯莱定理知

即n=3时结论成立. 设n=k时命题成立. 当n=k+l时，

所以

（2）由（1）知

以上各式相加得

4． 在欧氏空间中有三组向量的，

和

和如果是线性无关均有

都是两两正交的单位向量组，并且对一切

【答案】对每一个i ，有证明由题设，可令

这里且时

. 由于两两正交的非零向量组线性无关，且

线

性无关，所以均可逆.

由⑴、（2）可得是上三角矩阵. 令

（3）由于上三角矩阵曰的逆矩阵仍是上三角矩阵，且上三角阵的乘积仍是上三角阵，

所以

均为规范正交组，所以C 是正交矩阵，即有i

且

结合（3）, 命题得证.

的所有根都在上半复平面. 则

现任取一复数

的

虚部系数

因此

且

故

即

的根都在上半复平面.

的三个根的立方.

6． 求三次方程，使其三个根分别是三次方程

【答案】诏

是

的三个根. 那么

从而以

为根的三次方程是

7． 求作一个一元多项式，使它的各根分别等予

【答案】方法1令

即

则

故多项式

为所求.

考虑到及这里为下三

角，为上三角，所以

5． 设复数域上n 次多项式.

证明：

的所有根也在上半复平面.

【答案】设f （x ）在复数域内的n 个根为

且虚部系数由假设f （x ）的所有根都在上半复平面，即每个

的各根减1.