2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院841高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
故
但当a=l时， 2． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
线性表出.
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】B 【解析】
由秩A=2, 可知可由
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
3． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而 4． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为 5． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
=（ ）.
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
的基础解系，
为任意常数，
的基础解系. 又由
二、分析计算题
6． 设A ，B 分别为m 阶与n 阶方阵. 证明：
，【答案】由以下两个等式两端取行列式即分别得（4）（5）:
7． 设V 是一n 维欧氏空间，
（1）（2）
的维数等于n-l.
所以
有
所以对
中向量x 及实数k 有
所以因此
是V 的一个子空间.
易证
所以
是
（2）将扩充成V 的一组标准正交基n-l 维的.
8． 矩阵A 称为反对称的，如果矩阵之和.
【答案】又
分别为对称阵和反对称阵. 得证.
9． （1）若A 为正交阵，那么
（2）若A 为n 阶非奇异阵，（3）【答案】 （1）（2）
是V 中一固定向量，证明：
是V 的一个子空间；
非空.
【答案】（1）因为对V 中两个向量
证明：任一矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称
为伴随矩阵，试证
则A 的特征值只能是±1.
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