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一、分析计算题

1． 设

（1）如果（2）如果【答案】（1）因为组合. 由

（2）对任一

2． 设A 为n 阶方阵

（1）试证：（3）试证：

（4）如A 的秩为n , 试解（5）如A 为非奇异，试解:（6）如A 为非奇异，试解:【答案】（1）设

则

可推出

由

是欧氏空间V 的一组基，证明： 使

对任一

有因此

可得

E 为n 阶单位矩阵

，

的秩也为n ；

得那么

那么

由（1）得

为A 的伴随矩阵，

为A 的行列式.

都是

的线性

是欧氏空间的一组基，对任一

（2）如A 为非奇异，

试证

由于因此

（2）仿（1）还可证. 由定义得

（3）设

再设

那么

为行列

中划去第j 行和第i 列的代数余子式

，其中每行提出公因子a 后，可得 （n-1阶行列式）

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所以

由此即证（4）若秩

即秩（5）因为

另一方面②式中，用

（

由③，④即证（6）可以证明对一切事实上，由于因此（i ）当秩A=n时在⑥式中用A 换A*得

（ii ）当秩

时，则秩

从而秩

. 放

综合⑦，⑧两式，即证⑤成立.

3． 设V 为欧氏空间，证明：

①若

为V 中互异单位向量，则存在镜面反射T 使

且

故

是单位向量，从而由上

②若V 为n 维，则V 的正交变换可表为若干个镜面反射之积. 【答案】①由假设

，

题知

是V 的一个镜面反射，且

即

为V 的任一标准正交基，则

也是

（不一定A 非奇异）都有

可逆，用

左乘①式两边可得

由上面②式两边取逆可得

换A 得

那么由上面①式有

所以

②设T 为V 的任一正交变换，V 的一标准正交基

若则

则T 是恒等变换. 此时作镜面反射

于是

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若若其中

于是

与不全相同，不妨设则

于是由①知，存在镜面反射使

结论成立. 否则可设再作镜面反射

令

且可验算有

如此下去，设

则得

4． 设

得证.

为n 阶正定矩阵. 证明：

①以下二次型是负定的：

②③

【答案】①令

是A 的n-1阶顺序主子式）且等号成立且等号成立

为对角矩阵. ，则

两边取行列式，得

对二次型f 施行满秩线性代换X=AY，得

但A 是正定的，②由于

等于

从而

正定而

即f 是负定的.

（5）

其中的，因此

为上面第一个行列式. 由于A 正定，故

也正定. 因此由①知，f 是负定

故由（5）得

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